九章算术的作者(九章算术作者)

中国古代数学之“两书”

历史的萌芽

中国作为一个拥有5000年历史的文化古国，文化不断，源远流长。而中国的数学，在这样的平稳环境中，也安然的发展了起来。

先秦时期，先民们在劳动实践中，逐渐认识了数与形的概念。殷商时期出土的甲骨文般显示，当时的人们已经形成了完整的十进制筹算记数体系，到春秋时期，随着铁器时代的来临，生产力的提高，又形成了完善的十进制运算体系。此体系能够准确表示每一位数字的含义，具有清晰的位值概念，还能明确的表示0。在几何学方面，《史记》“夏本纪”中记载了一句“左规矩，右方圆”描述了大禹治水所用的工具。这句话表明，早在夏朝，先民已经能够将几何知识应用到劳动实践中。到战国时期，诸子百家争鸣，众多思潮促进了理论数学的发展。其中墨家在著作《墨经》上提出了关于点，线，圆，方，平行，体积等一系列数学概念的抽象定义。而另一学派名家，则对无穷概念理解较深，《庄子》一书记载了他们的许多观点如：

矩不方，规不可以为圆

飞鸟之影未尝动也

簇矢之疾,而有不行不止之时

一尺之棰日取其半万世不竭

这些观点与古希腊时期的“芝诺悖论“遥相呼应。

到了秦，始皇帝“焚书坑儒”，使得坊间书籍的流通量大大减少，民众持有的各类书籍量骤降，许多书籍只剩孤本被保存在阿房宫中。后项羽火烧阿房宫，使其中书籍也付之一炬。这巨大的文化损失，对数学的发展形成了巨大的阻碍。

《周髀算经》与勾股定理

到两汉时期，在经过一段时间的沉淀后，数学焕发了新的活力，有了较大的发展。在公元前一世纪左右，中国第一部数学和天文学著作《周髀算经》现世。全书以问答的方式展开，主要通过商高、荣方和陈子之间的对话，阐述了勾股定理，解释了当时主流的天文学说“盖天说”。

在全文开头，作者就从数的起源开始讲解数的来由，然后一句著名的“勾三股四径五”揭示了勾股定理。勾股定理面世后，三国时期的数学家赵爽用面积法对勾股定理进行了证明。

如图为两个边长分别为a，b的正方形，取B正方形上与A正方形边相连的边一点，取长度为a，连线，截断，然后移动，拼成另一正方形，正方形面积为c^2。最后证得

a^2+b^2=c^2

随后本书以勾股定理为基础，阐述了天文学说“盖天说”。书中讲述了天地宇宙的模型，天地间的距离，大地中心的独特支撑物“璇玑”，太阳在七衡六间（同心圆轨道）之间的往返轨道迁移，极昼极夜现象，寒暑五带的分类，星辰的围绕旋转现象等。

这一学说虽不是正确的，但它却完美描述了当时所展示的天文表面现象，给昼夜交替，寒暑变化做出了一个合适的解释，给当时的民众提供了一个有理可依的节气表，为耕种提供了有力的保障。

《九章算术》面世

《周髀算经》之后，随着中国数学继续发展，出现了另一部数学著作《九章算术》。

《九章算术》成书于公元前一世纪左右，由众多学者长时期编纂，修改而成，是中国古典数学最重要的著作。对比于以欧几里得《几何原本》为代表的希腊演绎体系，《九章算术》带有较强的实用主义色彩和算法精神。全书共记载了246个问题，按照内容的不同，分为：“方田”、“粟米”、“衰分”、“少广”、“商功”、“均输”、“盈不足”、“方程”、“勾股”九章，包含了许多丰富而多彩的数学成就。以下我们将从算法，代数，几何三个方面，对《九章算术》做一介绍。

算法与算运算体系

《九章算术》第一卷“方田”卷，主要有分数运算和土地面积计算两类题目，在土地面积计算题目中，作者用设问形式，在已知数据的基础上提问“方田”、“圭田”、“箕田”、“圆田”、“环田”、“弧田”的土地面积，随后自问自答给出解释，以这种形式介绍了矩形，圆形，梯形，三角形，圆环的面积计算公式。在分数运算题目中，作者通过写关于分数加减乘除的各类问题，展示了完整的分数运算体系，并给出了通分的具体方法。特别地，在卷中第六题的问题解释部分，作者给出了一个求最大公约数的方法：

“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成白话文就是，先去除它所有的公因子2，然后以小的数减去大的数，重复进行直到得到可以整除的因数，最后乘上刚才约去的偶数因子得到最大公约数。这个方法就是著名的更相减损法。

除了分数四则运算，《九章算术》还着重阐述了比例算法，本书的“粟米”、“衰分”、“均输”卷中，作者用钱货问题，赋税问题，谷物问题，阐述了三种情况下比例算法的应用。

在《粟米》一卷中，作者先列出了各种粮食，给出了各种粮食之间的换算比率，然后在各个问题中，采用“今有术”解决比例问题。举例说明，设比例关系如下，求x。

按照《九章算术》，我们称a为“所有率”，b为“所求率”，c为“所有数”，然后以“所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”，求得x=bc/a。这种“今有术”算法是当时解决比例问题的基本算法。

除此之外，当时的人们也意识到了一些特别的比例情况，《衰分》卷第四题：

“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”

就展示了他们对等比数列的认识。在这之外，《均输》一卷中，作者还给出了一个与n元一次方程有关的比例情况。例如《均输》卷第一题：

“今有均输粟：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近，户数多少，衰出之。问粟、车各几何？”

此题中作者通过不同变量之间的比列关系，消元变成同一变量，算出一个变量后，再用比例将其他变量还原出来。这个变量换算过程，与《衰分》一卷的衰分变换类似。

比例算法之后，为求解生活中盈亏类问题，作者写下“盈不足”一卷，创造了算法“盈不足”术。盈亏类问题的典型情况是，某物品在几个人共买的情形下，根据每个人所出的平均钱数不同产生的溢出和不足，算出物价和人数。

举例如下：

“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何”

根据“盈不足”算法，假设人数为x，物价为y，每人出钱a1盈b1，出钱a2不足b2，得到方程

得到答案x=7，y=53。

这一算法也被称为“双设法”，曾在中世纪流传到了阿拉伯世界，在阿拉伯的数学著作中被称为“契丹算法”。

代数算法

或许是因为有良好的数学体系作为基础，《九章算术》在代数方面取得了较为惊人的成就。

在“少广”一卷中，《九章算术》给出了开平方和开立方的算法，用一种类似换元的方法，从高位到低位不断求出对应的平方根或开方根的每一位的数值。在开方过程中，因为开不尽的情况，中国数学家首次接触到了无理数，但让人惊讶的是，中国数学家并没有像古希腊学者一样对无理数的出现感到恐慌，而是淡然地接受了无理数的存在，并给开不尽的数起了专门名称——“面”。至于这种情况出现的原因，或许可以猜测为是比例的定义不同。

除此以外，《九章算术》在方程领域也取得了很高的成就。在本书方程一卷中，作者给出了线性方程组的完美解法，“方程”卷第一题为例：

“今有上禾三秉（古代容量单位），中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉、中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾一秉各几何？”

“禾”为米，“秉”为捆，“实”是打下来的粮食，设上、中、下禾一秉对应的粮食分别为，x，y，z，则问题相当于求线性方程组：

随后，作者列出一个数表，表示方程的未知数系数和方程的值

然后通过初等列变换，变成一个列最简形矩阵

最后得到答案x=7，y=53

虽然由于实用精神限制，线性方程没有被推广到n维的情况，但是其中展示的方法却让人惊讶，这种在现代被冠以“高斯消元法”的方法，中国数学家比西方学者早创立了几百年，是世界数学历史上的一颗明珠。

在高斯消元法的支撑下，解线性方程变得简单而直接，但在逐渐深入的过程中，中国数学家发现了一些小数减大数的情况，故而为了保证线性方程组的求解方法的正确性，中国数学者引入了负数的盖帘。“方程”卷第三题提出了“正负术”概念，即正、负数加减运算法则：

“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”

这一引入，完善了有理数系的加减法则，对中国数学产生了深远影响，使得中国数学家有了在数学上有了更广阔的研究空间。

几何知识

由于《九章算术》本身是一本趋向于实用主义的数学著作，所以其几何方面并没有像古希腊演绎数学体系那般的严谨而广阔深远，而是像曾经的古巴比伦和古埃及人一样，从实际问题中衍化出了几何知识，这使得几何知识具有明显的实际背景。例如在“方田”一卷中，作者以土地类型为基准，给出了长方形，三角形，梯形，圆，圆环的面积公式；在“商功”一章中，作者以一些生活常见建筑为蓝本，给出了长方体，直圆柱，棱椎，圆锥，棱台的体积公式；在“勾股”一章，作者主要利用勾股定理和之前所给出的面积和体积公式进行问题求解，例如本卷第五题：

“今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？”

书中解为：

“以七周乘三尺为股，木长为句，为之求弦，得二丈九尺。弦者，葛之长。”

这一题目利用了圆柱的圆面展开和勾股定理，求得了葛长。

上述的这些公式都是人们在生活实践过程中得到的，一律没有推导过程，其几何主要就是实用几何。然而在稍后的魏晋南北朝，却出现了证明《九章算术》中那些算法的努力，从而引出了中国古典几何最闪亮的篇章。

价值和影响

《九章算术》作为中国最早的较为完善的数学著作，使得许多后来数学者有了清晰的研究方向和研究方式，逐渐形成了一种具有中国特色的数学著作模式，也因此，《九章算术》成为了中国数学史上的一个里程碑，它的出现，标志着中国数学体系的形成。

参考书目：

《数学史》作者：J.F斯科特 译者：侯德润 张兰