九章算术的作者(算术著作)

【中图分类号】G622 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）25-0079-04

《新课标》第四部分明确谈到：“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。例如，可以介绍《九章算术》、珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、布丰投针等。”尤其是在初等教育的学习阶段，小学数学教材作为学生系统学习数学的起点，有关数学史内容的渗透是很有必要的。与此同时，对于数学史在小学数学教材渗透过程中，我们必须要进行理性的思考。本文主要讨论《九章算术》应用在小学数学教材中的内容。

《九章算术》是中国古代最重要的数学著作，也是世界数学史上极为珍贵的古典文献。公元656年，李淳风受诏负责编撰的“算经十书”作为国学标准的数学教科书，而《九章算术》就是“算经十书”之一。《九章算术》作为算法化的代表，凝聚了古代学者的智慧，形成了我国古代初等数学体系，是数坛历史上的一颗璀璨明珠。现传本《九章算术》包括246道数学问题，按问题的性质划分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股这九章数学内容，故称为《九章算术》。《九章算术》不仅对我国古代数学的发展有着深远的影响，同时也对现代初等数学具有一定的指导意义。

一 《九章算术》应用于小学数学教材的内容

第一章是方田，共38个题目，其中有一部分讲的是平面图形的面积计算问题，另一部分讲的就是分数的四则运算法则。其中涉及的平面图形有方田（长方形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）、圆田（圆形）、宛田（扇形）、弧田（弓形）、环田（圆环）。还提及了有关分数的约分、通分及分数的加减法和分数的大小比较等。这一章中运用到小学数学课本的有平面图形的面积求法，例如：第1题指出计算长方形的面积方法，“术曰：广从步数相乘得积步。”这里的“广”是指长方形的长，“从”是指长方形的宽。还有运用分数的四则运算法则，例如：第10题指出分数减法的运算，“术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。”这里的“母互乘子，以少减多，余为实”是指分子与分母交叉相乘，用少的减多，所得余数为分子；再分母相乘为分母，“实如法而一”就是得到的一个新分数。

第二章是粟米，共46个题目，主要讲了谷物粮食的按比例折换，还有比例的算法。为了更好地进行物品交易，先是规定好了各种粮食之间的交换比例，然后在按比例折算，古代把正比例称为“今有术”，并给这四项定了名字，分别是“所有率”“所有数”“所求率”“所求数”，就是已知其中的三项要求出第四项，所用的运算公式是：

所有率∶所有数=所求率∶所求数

例如“今有术曰：以所有数乘所有率为实，以所有率为法，实如法而一。”相当于

这一章的比例换算在人教版、北师大版等多种版本的小学数学课本均有涉猎。

第三章是衰分，共20个题目，提出比例分配法则，称“衰分术”，是以“今有术”为基础来处理各种比例分配问题。例如“衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。”具体以第一题为例“大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎的五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？”既是按比率5∶4∶3∶2∶1计算每人应得鹿。这些比例的运算在小学数学

课本中有讲解，也运用到了现实生活中的具体例子。

第四章是少广，共24个题目，讲的是面积和体积的开平方、开立方，反求其一边长和径长等的问题，这在小学数学课本中未涉及。

第五章是商功，共28个题目，讲的是立体图形的体积运算，例如“城、垣、堤、沟（底为等腰梯形的直棱柱）、渠，皆同术。术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”，就是我们小学数学课本中所学的梯形面积=（上广+下广）÷2×高，而等腰梯形的直棱柱的体积=梯形面积×袤，还有分割长方体后的各个立体图形的体积，如：堑堵、阳马等。

第六章是均输，共28个题目，讲的是平均摊派捐税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论，是粟米和衰分章的发展。

第七章是盈不足，共20个题目，讲的是盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题解法。例如《九章算术》卷七第2题，“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六；不足十六。问人数、鸡价各为几何？答曰：九人，鸡价七十。”若每人出9，就比鸡价多11；若每人出6，就比鸡价少16。一般地假设人数为x，每人出钱a1盈b1，出钱a2不足b2。“盈不足术”相当于给出了解法：x=（b1+b2）÷（a1-a2），这些内容在小学数学课本中还未涉及到。

第八章是方程，共18个题目，讲的是多元一次方程组应用问题解法；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组使用的是直除法，与矩阵的初等变换是一致的。除此，这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术――正负数的加减法则，还有正负数的乘除法等。其中有运用到小学数学课本中的是正负数的引进和正负数的加减法。

第九章是勾股，共24个题目，讲的是利用勾股定理来解决各种实际问题，与测量和绘图有直接的联系，勾股定理公式是指：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则a2+b2=c2。 二 《九章算术》实例解析

本文将以人教版为例，研究小学数学教材的《九章算术》的内容，如下表：

由表1可以看出，小学数学教材中包含了大篇幅《九章算术》的内容，那么在《九章算术》中是如何阐述以上的数学内容，又体现了怎样的数学思想方法，以下将以方程和负数为切入点进行阐述。

1.方程

第八章是方程，共18个题目，讲多元一次方程组应用问题解法。《九章算术》的注释者刘徽说：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”就是说物体未知的个数即是方程的个数。与此同时，为了使方程组有确切的解，刘徽对方程组提出了正确无误的理论说：“行之左右无所同存，且为有所据而言耳”。就是说在方程组里既不能有相依方程，也不能有矛盾方程。

现以九章算术卷八第一题为例题，来阐述方程的算法程序。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”对于此题，《九章算术》所提出的解法是“遍乘直除算法”，“直除”法就是连续相减的消元法。《九章算术》没有表示未知数x，y，z的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列成一个方阵（如图1）。

图1

对于数学专业的学生而言，方阵的介绍及求解见大学的高等代数，因此通过列举方阵的方法求解方程组对初等教育的学生而言是不太现实的。现今中小学的学生求解方程所使用的方法是通过x，y，z列举三元一次方程组：

再通过消元法进行求解，古今求解《九章算术》的思想方法实质上是一致的，都是运用消元法，但是九章算术的过程相对而言不及解线性方程组简便。

2.负数

负数的引进，是中国数学史的一个里程碑，这个记载比国外早了七八百年。《九章算术》卷八“方程”章是这样介绍的：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”刘徽对此做了这样的注释：今两算得失相反，要令正负以名之；正算赤，负算黑，否则以邪正为异。刘徽注释为：正负是两种“得失相反”情况的反映，用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，或者用正、斜排列的方式分别表示正、负数。

据调查，负数的内容在人教版、苏教版和北师大版教材中均有涉猎，可见负数是初等数学的一个重要板块。负数的历史与介绍不仅应运用于小学数学教材中，作为高等师范学校的教师，也应该在数学史课程中对《九章算术》负数部分做重点介绍，使得他们在今后的教学中有足够的知识储备，为他们成为一名合格的小学教师做准备。

三 《九章算术》应用于小学数学教材的利弊

1.《九章算术》的优点

《九章算术》作为一部世界数学名著，理论联系实际，题材多样，由浅入深，既便于教学又适合自学深造。即使到现在，它在数学教育领域还有着极高的教育价值。

第一，有利于拓展学生数学知识面。《九章算术》算题在取材上丰富多样，直观形象。具体涉猎了小学数学八个方面的教学内容：图形的面积、长方体体积的计算、十进位计算、最大公因数、约分、分数四则运算、方程、负数。书中很多题目只要稍加变换就可以成为比较好的教学题材。

第二，有利于学生更好地掌握数学思想方法。《九章算术》通过观察―分析―归纳―概括这一循序渐进的步骤，总结出抽象的结论，对抽象理论辅以一定数量的实际问题来加深理解，蕴含了化归、数形结合、构造数学模型等思想方法，利于学生创造性思维的培养。同时，对于学生从数学史的角度，寻找目前正在学习数学知识的本源，亦有一定的借鉴与探源作用。

第三，有利于将数学与生活结合起来。《九章算术》对中国数学的影响与欧几里得《几何原本》对西方数学的影响是一样的。相对而言，欧几里得的《几何原本》 内容比较理论化，不仅不适合小学生学习，对成人而言也具有一定的难度。而《九章算术》秉承理论联系实际的解题思维，将抽象思维转化为具体思维，与现代数学“数学来源于生活，又回归于生活”的思想大同小异。小学生学习具有直观性、具体性的特点，以具体的实物为数学原型，利于学生掌握抽象的知识。

2.《九章算术》的缺点

《九章算术》的功绩是值得肯定的，不过，社会在变迁，时代在发展，今人已经在古人的基础上对 《九章算术》提出了新的见解，甚至得出更为简便的计算方法，用现代数学的观点去评价《九章算术》，它也存在些许不合理之处：

第一，它对任何数学概念都没有定义，对于7～12岁的儿童来讲，没有一个准确的定义或者概括，学生则很难将所学的方法进行延伸、拓展。而且《九章算术》对数学公式，解法都没有进行推导和证明，很难向小学生阐述方法的准确性，数学是一门严谨的学科，每一步都应有其理论依据。

第二，如果将《九章算术》的内容直接运用于小学数学教学中，这样做并不合理，它的编排顺序不适合学生的数学学习，而且随着岁月的变迁、时代的发展，现代社会已经不存在《九章算术》所举的实物例子，如果学生无法联系到身边的实物，这样也就缺乏了理论与实践相结合的意义。

第三，《九章算术》是古人智慧的结晶，由于那时没有系统的理论体系，计算方法相对而言比较繁杂，而今，现代数学家已经简化了《九章算术》的数学方法。

任何一本伟大的著作，都需要与时俱进才能发挥出其最大的价值，如果要将《九章算术》运用到小学数学现行教材中，则需要将其内容进行合理的改编，这样才能突显《九章算术》的教育价值及数学思想方法。

四 结束语

《九章算术》作为一本传世的数学经典著作，是古代数学家研读和学习的标准教科书，虽然《九章算术》的内容给看似枯燥的数学注入了新鲜血液，但是其在小学数学教材中的渗透，是要以学生为本而且要站在发展的角度去审视数学。对功底扎实的数学学习者而言，虽没有直接阐述其数学观，通过其体系结构亦不难看出蕴含其中的数学思想方法。但是对以形象思维为主体的小学生而言，他们需要的是一个对数学概念清晰的界定，否则会走进数学学习的误区。因此只有将《九章算术》合理地运用于小学数学教材中，才能趋利避害，实现双赢效果。