动量守恒的条件(动量守恒的条件为)

【题头】

若一个系统不受外力或者所受外力之和为零时，该系统的动量守恒。若整个系统所受的外力之和不为零，而在某一个方向上所受外力之和为零，虽然该系统动量不守恒，但是在此方向上动量守恒。

【问题】

如图所示，在光滑的水平杆上套着一个质量为m的滑环，滑环上通过一根不可伸缩的轻绳悬吊着质量为M的物体(可视为质点)，绳长为l. 将滑环固定时，给物块一个水平冲量，物块摆起后刚好碰到水平杆，若滑环不固定，仍给物块以同样的水平冲量，求物块摆起的最大高度。

【解析】

当滑环固定时，选取物块为研究对象，物块在上摆的过程中，只有重力做功，所以物块的机械能守恒，根据机械能守恒定律可求得物块的初速度v0。

即：

(1)

当滑环不固定时，在物块上摆的过程中，滑环也会在光滑的水平杆上水平滑动，这时绳子上的力也将对小物块做功，单独分析小滑块，情况已变得复杂。若分析滑环和物块两个物体组成的系统，由于水平杆光滑，所以整个系统在水平方向上不受外力，而竖直方向上由于小滑块在上摆过程中有竖直方向上的动量，所以系统在竖直方向上合外力不为零，即系统只在水平方向上动量守恒。同时整个系统除了物块重力做功以外，无其他力做功，所以系统同时满足机械能守恒定律。

当物块到达最高点时，物块无竖直方向分速度，物块和滑环具有相同的水平速度。若取水平向左为正方向，根据系统水平方向动量守恒以及机械能守恒定律可得：

(2)

(3)

由式(1) (2) (3)联立得：

所以物块摆起的最大高度为

【拓展】

如图所示，半径为R、质量为M、内表面光滑的半球物体放在光滑的水平面上，左端紧靠着墙壁。一个质量为m的小球从半球形物体的顶端的a点无初速释放，图中b点为半球的最低点，c点为半球另一侧与a点等高的顶点，关于物块M和m的运动，下列说法中正确的有

A．m从a点运动到b点的过程中，m与M系统的机械能守恒、动量守恒

B．m从a点运动到b点的过程中，m的机械能守恒

C．m释放后运动到b点右侧，m能到达最高点c

D．当m首次从右向左到达最低点b时，M的速度达到最大

【解析】

A、小球从a到b过程中只有重力做功，所以两物体组成的系统机械能守恒，但左侧墙壁对半球有弹力，所以动量不守恒，故A错误。

B、小球从a到b过程中，M给m的支持力时刻与m的运动速度垂直，不做功，所以在这个过程中，只有重力对m做功，所以m的机械能守恒，故B正确。

C、m释放到达b点右侧后，M将离开墙面，有水平向右的速度，此时m和M整个系统的水平方向上动量守恒，最终m和M将达到共同速度，由机械能守恒知，m肯定不能到达最高点c，故C错误。

D、选m与M组成的系统为研究对象，在C选项中已经分析，在m达到右侧最高点时二者具有共同的速度，之后返回的过程中，此系统依然满足水平方向上动量守恒条件，当m从右向左到达最低点时，m具有向左的最大速度，这时M具有最大的向右速度，故D正确。故选BD

【品析】

上述两类模型均符合某一方向上动量守恒，类似情况还有处于在光滑水平面的斜面体，有一小物块在斜面体上滑动时；或者在光滑水平面上的自由小车（木板）上连接一个摆球，摆球下降或者上升过程中，此类系统在水平方向上均不受外力，则水平方向上系统动量守恒。确定了在哪一方向上动量守恒，再结合机械能守恒或能量守恒的观点即可解决此类问题。

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审核：张春丽、石亚璞