商的变化规律(商的规律变化)

“商的变化规律”一课一般安排在四年级进行教学。这是一节蕴含重要数学思想的课。这种数学思想主要体现为“分类讨论，整体把握”。

一、对“商的变化规律”的理解

商的变化规律，指商随着被除数或除数的变化而变化。（《数学辞海》第一卷P40）

根据这个定义，可以把商的变化规律分成两个大类、四个小类来讨论。

第一大类：被除数和除数其中一个不变，另一个发生变化，引起商发生变化。

这个大类又可细分两个小类来讨论：

第一小类：除数不变，被除数发生变化，引起商随着变化。变化规律表现为“同向同倍”，即被除数乘几商也乘几，被除数除以几商也除以几。

第二小类：被除数不变，除数发生变化，引起商随着变化。变化规律表现为“反向同倍”，即除数乘几商反而除以几，除数除以几商反而乘几。

第二大类：被除数和除法都发生变化，引起商随着变化。

这个大类同样可细分两个小类来讨论：

第一小类：被除数和除法都发生变化，但变化方向不同，引起商随着变化。

第二小类：被除数和除法都发生变化，但变化方向相同，引起商随着变化或不变。

第二大类第二小类中的“商不变”，针对的情况是被除数和除数在变化方向相同的情况下，乘或除以的数也是相同的。这种情况也被称为“商不变的规律”或“商不变性质”。

可见，“商不变的规律”实际是“商的变化规律”中的一种特殊情况。

二、“商的变化规律”的教学分析

1.起点分析与后续影响分析

学生在学习“商的变化规律”之前，已经学习过“积的变化规律”，因此对于在运算中发现运算结果与参加运算的数之间的关系、存在的规律，已经具备了一定的学习经验。

在“商的变化规律”的四个小类中，对学生后续学习影响最大的是第二大类第二小类中的特殊情况，即“商不变的规律”。这个规律可以作为小数除法的算理依据，可以作为分数除法的推理依据，可以让一些除法计算简便，同时与“分数的基本性质”“比的基本性质”在本质上是一致的，可迁移、联系。

所以，“商的变化规律”虽只是一种特殊情况，但一直是“商的变化规律”教学中最被重视的一类。也正因此，有些教材在“商的变化规律”的编排中，只教学这一类，其他都不涉及。

2.素养指向的教学价值分析

“商的变化规律”的探索，需要学生从结果（商）倒推过程（被除数和除数）。让学生充分经历这个推理过程，是发展学生数学核心素养中的推理意识的极好载体。

学生学会了“商的变化规律”，在运用的过程中，需要从过程（被除数和除数）推理结果（商）。这样的运用，同样可以发展学生的推理意识。

三、从分类讨论到整体把握的教学理解

在学习“商的变化规律”时，需要一类一类来学习，这是分类讨论。如人教版教材（如下图），先教学除数不变时商的变化规律，再教学被除数不变时商的变化规律，最后教学商不变的规律。

这样的分类教学，对于学生理解并掌握商与被除数的关系（同向同倍）、商与除数的关系（反向同倍）、商不变的规律，是非常有益的，因为每一种变化规律的教学都是在相对独立的范围内展开的，很单纯，目标很明确。

但这样的分类教学也存在着一个小问题，主要是学生在学习“商的变化规律”后，面对如下的一类题时，错误比较多。

已知甲÷乙=24。若甲×2，乙÷3，则商是（ ）。

学生出现错误的原因也好理解，因为这道题所反映的情况，与之前分类学习时得出的三种商的变化规律都不能匹配，对应不上，这样的话，错误自然多。

解决上面这个问题，就需要在分类讨论的基础上，进行整体把握。

整体把握，需要对“商的变化规律”的类别进行重新理解。分类讨论时，只教学两种类别：商与被除数“同向同倍”的变化规律，商与除数“反向同倍”的变化规律。

至于上述提到的“第二大类”则不作为类别来学习，而是整体把握运用商随着被除数或除数的变化规律推理得出。

例1：已知甲÷乙=24。若甲×2，乙÷3，则商是（ ）。

整体把握推理过程：根据甲×2可得24×2（同向同倍），根据乙÷3可得24×3（反向同倍），推理得商为24×2×3=144。

例2：已知甲÷乙=24。若甲×4，乙×4，则商是（ ）。

整体把握推理过程：根据甲×4可得24×4（同向同倍），根据乙×4可得24÷4（反向同倍），推理得商为24×4÷4=24。

“例2”即为“商不变的规律”。

四、教学目标设定

1.引导学生理解并掌握“商的变化规律”，能初步应用规律解决问题。

2.组织学生经历猜想、验证、归纳和应用等学习过程，进一步体验探索和发现数学规律的基本方法；经历发现问题、提出问题的学习过程，进一步发展学生的推理意识和运算能力。

3.体验数学活动的探索性，感受数学结论的严谨性和获得成功的乐趣。

五、教学过程预设

（一）分类讨论

1.研究除数不变时，商与被除数“同向同倍”变化的规律

（1）以教师板书（或课件出示）、学生口答的形式，形成如上图的一组除法算式。

（2）请学生观察这组除法算式，然后谈一谈自己的发现。

学生的第一个发现一般是“除数都是8”。这个发现看上去很简单，但也重要，点出了“除数不变”。此时教师可以用红色粉笔在这个“8”下面画一个符号，并明确：除数都是8，说明除数没有变化。

（3）请学生继续谈自己的发现。

这个时候，学生应该可以看出商的变化与被除数的变化之间的关系。尤其是第1、2两个算式，被除数和商都是×10，比较好发现。

在学生正确讲述其中的规律时，注意引导所有学生都去理解，并用标注直观表示。在一位学生讲完后，再请1-2位学生讲一讲其中的规律，加深印象。

结合发现的第一个规律，继续引导学生看其他算式谈规律，逐步形成如下图的标注。

（4）抽象规律

再次让学生观察板书，然后让学生用自己的话来讲一讲刚才发现的规律。

这个时候，学生一般是根据黑板上标注的从上往下的情况来讲的，即“被除数乘几，商也乘几”。此时，教师需要进行引导，一是再一次明确“除数不变”，二是让学生从下往上看算式，进而完整得出规律。

在学生已经较为清楚地表达规律的前提下，引导用字母表示（当然也可以用“被除数、除数、商”来表示），形成如下图板书。

2.学生提问，环节转接

请学生观察已经得出的规律，然后想一想，提出自己心中的疑问。

教师可这样讲：看着这个规律，自己的心里有没有产生新的想研究的问题呢？

这个时候，学生自然会想到被除数不变、除数变化的情况，猜想商会怎么变。

这个环节设计让学生自己提出问题，一方面可以顺利的转接到下一个教学环节，另一方面可以让下一个环节的教学变成是学生自己研究自己的问题，提高学生的兴趣。

3.研究被除数不变时，商与除数“反向同倍”变化的规律

（1）再次以一组除法算式为例，观察被除数不变时，商与除数的变化情况。

（2）对“反向同倍”举例理解。

质疑：除数乘几，商怎么反而除以几了呢？

可以以分物为例进行举例说明：12个苹果平均分给2个人，每人6个；12个苹果平均分给你4个人，每人3个。

苹果总量不变（被除数不变），分给的人数越多（除数乘几），每人分到的越少（商反而除以几）。

此时可以回头对被除数与商“同向同倍”也进行一次举例理解。

（3）抽象规律（具体过程略），最后用字母式表达（如下图）。

（二）整体把握

1.再次提问——被除数和除数都变化

2.思考：被除数和除数都变化，会出现哪些情况？

先让学生思考一下，然后大家一起讨论得出：

情况一：被除数和除数都是乘或除以一个数（同向变化）。

情况二：被除数和除数一个是乘一个数，另一个是除以一个数（反向变化）。

3.研究商不变的规律

（1）板书口算“18÷6=3”。

（2）被除数和除数都乘10，口算得到“180÷60=3”。

注意，这一次变化不是从结果看过程，而是先进行被除数和除数的变化，再看结果。

（3）思考：商为什么会不变呢？

这一步的思考和讨论非常关键。以往教学商不变的规律，这一步是不讨论的，即是在发现之后就认可了。现在，我们要将其与之前的发现进行联系，整体把握，理解过程。

学生可能回答1：因为被除数乘10，除数也乘10，所以商不变。

学生可能回答2：抵消了。

教师可继续质疑：乘10和乘10怎么就抵消了呢？

引导学生从被除数和除数的变化，思考商的变化。即：被除数乘10商就乘10（同向同倍），除数乘10商就除以10（反向同倍）。板书如下：

（4）抽象规律。

在完成抽象之后，让学生把这个规律再说一说，然后给出“商不变的规律”这个名称。

给出名称之后，再说一说什么是商不变的规律？再次引导学生对其中的推理过程进行理解，同时得出“0除外”。

4.用这样的推理方式，研究被除数和除数同向变化，但乘或除以的数不同的情况。

如：18÷6=3，被除数×2，除数×3，商的多少。

这个过程，实际是在练习。

5.继续研究被除数和除数反向变化的情况。（略）

这个过程，同样的练习。